Qu'est-ce que théorème de convergence monotone ?

Le théorème de convergence monotone est un résultat en mathématiques qui établit des conditions pour qu'une suite de fonctions converge uniformément vers une fonction limite. Ce théorème est souvent utilisé en analyse réelle et en théorie de la mesure.

Le théorème de convergence monotone stipule que si une suite de fonctions continues et croissantes sur un ensemble compact converge vers une fonction limite continue, alors cette convergence est uniforme sur tout l'ensemble. De manière équivalente, si une suite de fonctions continues et décroissantes converge, alors cette convergence est également uniforme.

Plus formellement, soit {fn} une suite de fonctions croissantes, continues et bornées sur un ensemble A. Si cette suite converge uniformément vers une fonction f, alors la limite f est également croissante, continue et bornée. Lorsque la suite est décroissante, le théorème demeure applicable.

En résumé, le théorème de convergence monotone est un résultat important en analyse qui permet de garantir la convergence uniforme de certaines suites de fonctions. Cette propriété est essentielle pour établir la convergence de séries de fonctions et pour obtenir des résultats en analyse numérique, en probabilité et en théorie de la mesure.